时间、运动与芝诺：古希腊悖论的现代解读

时间、运动与芝诺：古希腊悖论的现代解读

摘要：古希腊哲学家芝诺为回击对他所属学派的驳斥，提出了影响后世深远的芝诺悖论。芝诺悖论让我们重新思考时间与空间的变化问题，推动着数学中极限与物理学中运动的发展，并出现在当今的混沌动力学与量子芝诺效应中，让这一古老的悖论在今天仍值得不同角度的解读。
关键词：芝诺悖论；时间变化；

一、引言
芝诺·埃利亚（Zeno of Elea，此处与斯多葛学派创始人Zeno of Citium区分）是一位希腊哲学家，以提出芝诺悖论而闻名，这些悖论在多个世纪里挑战了哲学家们对现实世界的看法，直到今天，量子力学中的量子芝诺效应，事件触发控制中的芝诺现象以芝诺命名，由此可见芝诺哲学思想的深远影响。
芝诺悖论的时间无限可分、飞矢不动等想法，让我们对时间和运动的有了更深的理解。芝诺悖论展示了运动似乎是不可能的，引发了我们关于时间和运动连续性和离散性本质的深刻讨论。几千年来，对他思想的重新思考推动了哲学、数学和物理学的发展，它促使后来的哲学家们采取一种不同的方式来解决变化和恒常的关系问题，并让我们每一个学生重新审视时间和空间。

二、芝诺的生平
芝诺在公元前约490年至公元前425年生活在古希腊埃利亚（Elea）。我们对芝诺的了解主要来自于柏拉图所写的对话《巴门尼德》（Parmenides）。
巴门尼德是芝诺的老师，他建立了埃利亚学派。巴门尼德提出了一个引人注目的理论：整个宇宙并非多样，它其实只有一个东西，从不变化，没有任何部分，永远无法毁灭[1]。他认为，变化和运动是矛盾的，若事物在变化，那么它必须是变成某种东西，而这个“某种东西”要么是存在的，要么是非存在的。如果是存在的，那它已经是这个状态，不需要变化；如果是非存在的，则不可能出现变化。因此，变化和运动是不可能的。
芝诺非常认同他的老师的观点，并在自己40岁时与巴门尼德前往雅典，他们与苏格拉底进行了对话。然而他们否认变化和多样性的极端观点受到了人们的质疑与反对。为了捍卫老师的观点，勇气非凡的芝诺基于反对者的观点，提出了著名的4个悖论。
芝诺在访问雅典后便返回埃利亚。有观点认为他写过一本著作，根据希腊数学家普罗克鲁斯（Proclus）的说法，书中包含了关于连续体的四十个悖论，其中就有著名的4悖论。

三、芝诺的四悖论
为了回击对巴门尼德的批评，芝诺将他的论证构造成了悖论。他首先暂时接受这两个常识：（1）变化在时间中产生，即事物是变化的；（2）各种事物延伸在空间中，即事物是多样的，然后揭示了下面4个悖论。

1. 二分法悖论。如果一个物体在运动，那么它就要从出发点移动一系列的距离单位到达终点。但芝诺提出，在运动过程中，物体一定要求经过轨道的中点，而想抵达中间点，必须首先到达四分之一点；同样的在四分之一点与起点之间仍然是可分的，物体一定会经过八分之一点...... 如果这里有无数点，那么物体就不可能在有限的时间里穿越无限数量的点，因而芝诺认为，运动并不存在。
2. 阿基里斯追龟悖论。这个悖论与二分法悖论类似，芝诺认为，在运动存在的情况下，阿基里斯永远不可能赶上乌龟，因为他们之间的距离永远可分，所以阿基里斯必须总是到达乌龟已经经过了的点，在这一假设下，阿基里斯永远也追赶不上乌龟。
3. 竞走问题。假定空间和时间由点和瞬间组成，设有三个互相平行的点列A、B、C。另C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言，都是每瞬间移动一个点，这样一来，A上的每点就在每瞬间离开C两个点的距离，因而我们可以对这一最小的时间区间再进行分割，上述步骤可以重复进行以至无穷。结果时间就不可能由瞬间组成。
4. 飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时间中，箭相继地静止在一系列的点上。既然是在某一点上，怎么能运动呢？运动实际上是一系列静止的总和。

通过这四个悖论，芝诺阐明了他对变化与时间的观点，对巴门尼德的反对者持有的运动观点进行了回击。他的论证对我们的直观感受提出质疑与冲击。

四、后人对芝诺悖论的讨论
亚里士多德对第一个悖论进行反驳，他认为，虽然不可能在有限时间内越过无限的点，但是如果时间与空间结构相同，也可以无限分隔，那么在无限多个时间点内越过无限个空间点是有可能的。但该回答所隐含的“无限多个时间点和空间点一一对应”建立的前提是“已有一段具体时间和一段具体空间距离”，即时间和空间皆为有限，这样一来，就等于预设物体可以在有限的时间内到达目的地。亚里士多德后来也认识到这样的分析不合适，给出了另外一个回答: 无穷数量的一半只是潜在的，而不是现实的。他怀疑无穷的空间点无法分成相同的两份。
黑格尔对芝诺悖论的解释是: “运动的意思就是说: 在这个地点又不在这个地点; 这就是空间和时间的连续性──并且这才是使得运动可能的条件。”黑格尔的回答是重新告诉我们什么是“连续性”，连续本身就是间断的，芝诺不懂得辩证地看待连续性和间断性的关系，不懂得辩证逻辑[8]。
现代分析哲学对芝诺悖论更倾向于指出其分析方法的错误: “运动轨迹”的数学分析不能替代“运动”本身，“运动”是比数学化的“运动轨迹”更根本的东西。在现象学中，海德格尔采用现象学的方法，试图从具体的人类经验出发，理解存在的意义[6]。他注重对日常生活的分析，。在《存在与时间》中，海德格尔探讨了“存在”的多样性和复杂性[7]。他区分了“存在”（Sein）与“存在者”（Seiendes），强调“存在”是一个动态的过程，而非静止的实体。

针对芝诺悖论，我个人在Calculus课程后，更倾向于数学上的理解。虽然在二分法中两者不断靠近但是似乎永远不能接近，但是这是在距离上的观测。如果我们观测距离的一阶导数速度，会发现速度的存在会让两者运动最终迈过“永不相交”这一门槛。当然，速度这一物理概念也依赖距离的可微。当然如果我们放在最细小的时间——普朗克时间进行分析，似乎我们就能直接绕过芝诺的“时间无限可微”的假设，直接证伪悖论的前提。但是在经典力学的框架下，如何理解瞬时速度？到这里，我们又因为前提不同，又很难完全驳倒芝诺的想法。很多时候，我们只能把他当作物理课本上一个废人脑筋的急转弯而主动放弃对他的思考。

五、芝诺悖论在当代数学与物理的影响
罗素提到[2]：“这个反复无常的世界里，没有什么比死后的名声更反复无常的了。后代缺乏判断力的最显着受害者之一是芝诺。在发明了四个论点之后，这些论点都非常微妙和深刻，后来的哲学家们的粗俗说他只是一个天才的杂耍者，而他的论点则是一个诡辩。经过两千年的持续反驳，这些诡辩得以恢复，并成为数学复兴的基础......”作为理发师悖论的提出者，罗素给芝诺悖论不错的评价。
从数学上讲，人们最喜欢与芝诺悖论比较的便是微积分里极限的概念。我们可以将物体、人、乌龟等运动物体的运动的时间段用一个几何级数表示，然后对该级数求极限，便能发现，芝诺悖论在数学上是可处理的，阿基里斯和乌龟的运动是通过对无限过程的理解而得以解决的，运动并不是不可实现的。当然这里也存在更多问题，比如极限里可分/可微的概念，以及是否运动路程是否连续与无限分割。
在物理中，在混杂动力学系统中，存在一类特殊的动态行为——芝诺（Zeno）行为，即系统在有限时间内发生无穷次离散跳变的现象[5]。比如一个小球垂直下落，弹起后速度反向且为原来的一半，那么它将一直弹跳下去，且小球永远无法真正停留在地面上。

量子芝诺效应（Zeno effect）是量子体系的一种性质，是指量子态随时间的演化会受到测量的影响。如果持续测量一个量子体系，量子态随时间的演化会减慢甚至停滞[3]。在芝诺悖论中，运动被认为无法完成；而在量子情况下，连续的观测会导致量子状态的“冻结”，使得系统保持在初始状态，也不会产生运动。这一理论在1977年提出，随后在1990年Itano小组基于Be+－ＲF－Laser 系统的实验宣称其证实了量子芝诺效应。对该效应的解释至今仍需更多的讨论，但是毋庸置疑的是，芝诺的想法让人们再一次重新认识运动与时间。

物理系统里的这种芝诺行为其实在高中时我已经在一些题目上有过类似发现，但是我当时仅仅是当作题目的设定而没有多想。但是有趣的是，这种芝诺行为确实很让人深思。我们平时的乒乓球，究竟是在何时停止运动？还是说，平时我们身边所有的事物，按照芝诺的想法，在宏观上都会拥有微小扰动般的运动？芝诺的想法让我重新质疑起自己习以为然的理论，让我对它重新争辩，从而认识到现实世界的复杂，运动也有可能真的如他所说不存在，我们很多的理论只是在拟合我们所观测到的规律。

六、总结
在哲学上，芝诺被亚里士多德誉为辩证法的发明人，黑格尔在他的哲学史演录中指出：“芝诺主要是客观的辨证的考察了运动，并称芝诺为“辩证法的创始人”。从芝诺悖论，我们既不能得出时空是连续的结论，也不能得出时空是不连续的结论。但是对它的思考让我们更深入地理解了“运动”这一概念。
参考文献

[1]Stone, S. E., & Pizer, J. (2009). 西方哲学史（修订第8版）：从苏格拉底到萨特及其后 (邓晓芒, 译). 北京: 世界图书出版公司.
[2]罗素, 伯特兰. (2004). 西方哲学史 (汉译世界学术名著丛书). 北京: 译林出版社.
[3]Misra, B. and E. C. George Sudarshan. “Zeno's paradox in quantum theory.” (1976).
[4]杨朝辉.量子芝诺效应的物理诠释探讨[J].大学物理,2022,41(04):11-13.DOI:10.16854/j.cnki.1000-0712.210482.
[5]王忠明,于灏.滑模控制系统中的芝诺行为研究[J].控制与信息技术,2024,(03):45-52.DOI:10.13889/j.issn.2096-5427.2024.03.100.
[6]彭洋.现象学时间与芝诺悖论[J].现代外国哲学,2023,(01):10-22.
[7]王庆节.芝诺悖论：海德格尔与西方形而上学“存在与时间”问题的开端[J].社会科学文摘,2023,(07):36-38.
[8]李大凯.基于时空连续的芝诺悖论的逻辑分析[J].哈尔滨师范大学社会科学学报,2014,5(03):11-13.
[9]Maths History. (n.d.). Zeno of Elea. MacTutor History of Mathematics archive. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zeno_of_Elea